本页面将简要介绍堆排序．

## 定义

堆排序（英语：Heapsort）是指利用 [二叉堆](../ds/binary-heap.md) 这种数据结构所设计的一种排序算法．堆排序的适用数据结构为数组．

## 过程

堆排序的本质是建立在堆上的选择排序．

### 排序

首先建立大顶堆，然后将堆顶的元素取出，作为最大值，与数组尾部的元素交换，并维持残余堆的性质；

之后将堆顶的元素取出，作为次大值，与数组倒数第二位元素交换，并维持残余堆的性质；

以此类推，在第 $n-1$ 次操作后，整个数组就完成了排序．

### 在数组上建立二叉堆

从根节点开始，依次将每一层的节点排列在数组里．

于是有数组中下标为 `i` 的节点，对应的父结点、左子结点和右子结点如下：

```cpp
iParent(i) = (i - 1) / 2;
iLeftChild(i) = 2 * i + 1;
iRightChild(i) = 2 * i + 2;
```

## 性质

### 稳定性

同选择排序一样，由于其中交换位置的操作，所以是不稳定的排序算法．

### 时间复杂度

堆排序的最优时间复杂度、平均时间复杂度、最坏时间复杂度均为 $O(n\log n)$．

### 空间复杂度

由于可以在输入数组上建立堆，所以这是一个原地算法．

## 实现

=== "C++"
    ```cpp
    void sift_down(int arr[], int start, int end) {
      // 计算父结点和子结点的下标
      int parent = start;
      int child = parent * 2 + 1;
      while (child <= end) {  // 子结点下标在范围内才做比较
        // 先比较两个子结点大小，选择最大的
        if (child + 1 <= end && arr[child] < arr[child + 1]) child++;
        // 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数
        if (arr[parent] >= arr[child])
          return;
        else {  // 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较
          swap(arr[parent], arr[child]);
          parent = child;
          child = parent * 2 + 1;
        }
      }
    }
    
    void heap_sort(int arr[], int len) {
      // 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
      for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) sift_down(arr, i, len - 1);
      // 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
      for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        sift_down(arr, 0, i - 1);
      }
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    def sift_down(arr, start, end):
        # 计算父结点和子结点的下标
        parent = int(start)
        child = int(parent * 2 + 1)
        while child <= end:  # 子结点下标在范围内才做比较
            # 先比较两个子结点大小，选择最大的
            if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]:
                child += 1
            # 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数
            if arr[parent] >= arr[child]:
                return
            else:  # 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较
                arr[parent], arr[child] = arr[child], arr[parent]
                parent = child
                child = int(parent * 2 + 1)
    
    
    def heap_sort(arr, len):
        # 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
        i = (len - 1 - 1) / 2
        while i >= 0:
            sift_down(arr, i, len - 1)
            i -= 1
        # 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
        i = len - 1
        while i > 0:
            arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
            sift_down(arr, 0, i - 1)
            i -= 1
    ```

## 外部链接

-   [堆排序 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A0%86%E6%8E%92%E5%BA%8F)
