## 引入

图论中的树和现实生活中的树长得一样，只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑．这种数据结构看起来像是一个倒挂的树，因此得名．

## 定义

一个没有固定根结点的树称为 **无根树**（unrooted tree）．无根树有几种等价的形式化定义：

-   有 $n$ 个结点，$n-1$ 条边的连通无向图

-   无向无环的连通图

-   任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

-   任何边均为桥的连通图

-   没有圈，且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

在无根树的基础上，指定一个结点称为 **根**，则形成一棵 **有根树**（rooted tree）．有根树在很多时候仍以无向图表示，只是规定了结点之间的上下级关系，详见下文．

## 有关树的定义

### 适用于无根树和有根树

-   **森林（forest）**：每个连通分量（连通块）都是树的图．按照定义，一棵树也是森林．

-   **生成树（spanning tree）**：一个连通无向图的生成子图，同时要求是树．也即在图的边集中选择 $n - 1$ 条，将所有顶点连通．

-   **无根树的叶结点（leaf node）**：度数不超过 $1$ 的结点．

    ???+ question "为什么不是度数恰为 $1$？"
        考虑 $n = 1$．

-   **有根树的叶结点（leaf node）**：没有子结点的结点．

### 只适用于有根树

-   **父亲（parent node）**：对于除根以外的每个结点，定义为从该结点到根路径上的第二个结点．  
    根结点没有父结点．
-   **祖先（ancestor）**：一个结点到根结点的路径上，除了它本身外的结点．  
    根结点的祖先集合为空．
-   **子结点（child node）**：如果 $u$ 是 $v$ 的父亲，那么 $v$ 是 $u$ 的子结点．  
    子结点的顺序一般不加以区分，二叉树是一个例外．
-   **结点的深度（depth）**：到根结点的路径上的边数．
-   **树的高度（height）**：所有结点的深度的最大值．
-   **兄弟（sibling）**：同一个父亲的多个子结点互为兄弟．
-   **后代（descendant）**：子结点和子结点的后代．  
    或者理解成：如果 $u$ 是 $v$ 的祖先，那么 $v$ 是 $u$ 的后代．

![tree-definition.svg](images/tree-definition.svg)

-   **子树（subtree）**：删掉与父亲相连的边后，该结点所在的子图．

    ![tree-definition-subtree.svg](images/tree-definition-subtree.svg)

## 特殊的树

-   **链（chain/path graph）**：满足与任一结点相连的边不超过 $2$ 条的树称为链．

-   **菊花/星星（star）**：满足存在 $u$ 使得所有除 $u$ 以外结点均与 $u$ 相连的树称为菊花．

-   **有根二叉树（rooted binary tree）**：每个结点最多只有两个儿子（子结点）的有根树称为二叉树．常常对两个子结点的顺序加以区分，分别称之为左子结点和右子结点．  
    大多数情况下，**二叉树** 一词均指有根二叉树．

-   **完整二叉树（full/proper binary tree）**：每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树．换言之，每个结点或者是树叶，或者左右子树均非空．

    ![](images/tree-binary-proper.svg)

-   **完全二叉树（complete binary tree）**：只有最下面两层结点的度数可以小于 2，且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上．

    ![](images/tree-binary-complete.svg)

-   **完美二叉树（perfect binary tree）**：所有叶结点的深度均相同，且所有非叶节点的子节点数量均为 2 的二叉树称为完美二叉树．

    ![](images/tree-binary-perfect.svg)

???+ warning "Warning"
    Proper binary tree 的汉译名称不固定，且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同，遇到的时候需根据上下文加以判断．

OIers 所说的「满二叉树」多指完美二叉树．

## 存储

### 只记录父结点

用一个数组 `parent[N]` 记录每个结点的父亲结点．

这种方式可以获得的信息较少，不便于进行自顶向下的遍历．常用于自底向上的递推问题中．

### 邻接表

-   对于无根树：为每个结点开辟一个线性列表，记录所有与之相连的结点．
    ```cpp
    std::vector<int> adj[N];
    ```
-   对于有根树：
    -   方法一：若给定的是无向图，则仍可以上述形式存储．下文将介绍如何区分结点的上下关系．
    -   方法二：若输入数据能够确保结点的上下关系，则可以利用这个信息．为每个结点开辟一个线性列表，记录其所有子结点；若有需要，还可在另一个数组中记录其父结点．
        ```cpp
        std::vector<int> children[N];
        int parent[N];
        ```
        当然也可以用其他方式（如链表）替代 `std::vector`．

### 左孩子右兄弟表示法

#### 过程

对于有根树，存在一种简单的表示方法．

首先，给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序．

此后为每个结点记录两个值：其 **第一个子结点**  `child[u]` 和其 **下一个兄弟结点**  `sib[u]`．若没有子结点，则 `child[u]` 为空；若该结点是其父结点的最后一个子结点，则 `sib[u]` 为空．

#### 实现

遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现．

```cpp
int v = child[u];  // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
  v = sib[v];  // 转至下一个子结点，即 v 的一个兄弟
}
```

也可简写为以下形式．

```cpp
for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
}
```

### 二叉树

需要记录每个结点的左右子结点．

???+ note "实现"
    ```cpp
    int parent[N];
    int lch[N], rch[N];
    // -- or --
    int child[N][2];
    ```

## 树的遍历

### 树上 DFS

在树上 DFS 是这样的一个过程：先访问根节点，然后分别访问根节点每个儿子的子树．

可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息．

### 二叉树 DFS 遍历

#### 先序遍历

![preorder](images/tree-basic-preorder.svg)

按照 **根，左，右** 的顺序遍历二叉树．

???+ note "实现"
    ```cpp
    void preorder(BiTree* root) {
      if (root) {
        cout << root->key << " ";
        preorder(root->left);
        preorder(root->right);
      }
    }
    ```

#### 中序遍历

![inorder](images/tree-basic-inorder.svg)

按照 **左，根，右** 的顺序遍历二叉树．

???+ note "实现"
    ```cpp
    void inorder(BiTree* root) {
      if (root) {
        inorder(root->left);
        cout << root->key << " ";
        inorder(root->right);
      }
    }
    ```

#### 后序遍历

![postorder](images/tree-basic-postorder.svg)

按照 **左，右，根** 的顺序遍历二叉树．

???+ note "实现"
    ```cpp
    void postorder(BiTree* root) {
      if (root) {
        postorder(root->left);
        postorder(root->right);
        cout << root->key << " ";
      }
    }
    ```

#### 反推

已知中序遍历序列和另外一个序列可以求第三个序列．

![reverse](images/tree-basic-reverse.svg)

1.  前序的第一个是 `root`，后序的最后一个是 `root`．
2.  先确定根节点，然后根据中序遍历，在根左边的为左子树，根右边的为右子树．
3.  对于每一个子树可以看成一个全新的树，仍然遵循上面的规律．

### 树上 BFS

从树根开始，严格按照层次来访问节点．

BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点．

#### 树的层序遍历

树层序遍历是指按照从根节点到叶子节点的层次关系，一层一层的横向遍历各个节点．根据 BFS 的定义可以知道，BFS 所得到的遍历顺序就是一种层序遍历．但层序遍历要求将不同的层次区分开来，所以其结果通常以二维数组的形式表示．

例如，下图的树的层序遍历的结果是 `[[1], [2, 3, 4], [5, 6]]`（每一层从左向右）．

![tree-basic-levelOrder](images/tree-basic-levelOrder.svg)

???+ note "实现"
    ```cpp
    vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
      if (!root) {
        return {};
      }
      vector<vector<int>> res;
      queue<Node*> q;
      q.push(root);
      while (!q.empty()) {
        int currentLevelSize = q.size();  // 当前层的节点个数
        res.push_back(vector<int>());
        for (int i = 0; i < currentLevelSize; ++i) {
          Node* cur = q.front();
          q.pop();
          res.back().push_back(cur->val);
          for (Node* child : cur->children) {  // 把子节点都加入
            q.push(child);
          }
        }
      }
      return res;
    }
    ```

### 二叉树 Morris 遍历

二叉树遍历的核心问题是，当遍历当前节点的子节点后，如何返回当前节点并继续遍历．遍历二叉树的递归方法和非递归方法都使用了栈结构，记录返回路径，来实现从下层到上层的移动．其空间复杂度最好时为 $O(\log n)$，最坏时为 $O(n)$（二叉树呈线性）．

Morris 遍历的实质是避免使用栈，利用底层节点空闲的 `right` 指针指回上层的某个节点，从而完成下层到上层的移动．

#### Morris 遍历的过程

假设来到当前节点 `cur`，开始时来到根节点位置．

1.  如果 `cur` 为空时遍历停止，否则进行以下过程．
2.  如果 `cur` 没有左子树，`cur` 向右移动（`cur = cur->right`）．
3.  如果 `cur` 有左子树，找到左子树上最右的节点，记为 `mostRight`．
    -   如果 `mostRight` 的 `right` 指针指向空，让其指向 `cur`，然后 `cur` 向左移动（`cur = cur->left`）．
    -   如果 `mostRight` 的 `right` 指针指向 `cur`，将其修改为 `null`，然后 `cur` 向右移动（`cur = cur->right`）．

例如，`cur` 从节点 1 开始访问．

![tree-basic-morris-1](images/tree-basic-morris-1.svg)

`cur` 第一次访问节点 2 时，找到左子树上最右的节点 4，将 4 的 `right` 指针指向 `cur`（节点 2)．

![tree-basic-morris-2](images/tree-basic-morris-2.svg)

`cur` 通过 4 的 `right` 指针返回上层，第二次访问节点 2 时，找到左子树上最右节点 4，将 4 的 `right` 指针修改为 `null`，然后继续访问右子树．之后的过程省略．

![tree-basic-morris-1](images/tree-basic-morris-1.svg)

整棵树的访问顺序是 `1242513637`．可以发现有左子树的节点访问两次，没有左子树的节点只访问一次．

???+ note "实现"
    ```cpp
    void morris(TreeNode* root) {
      TreeNode* cur = root;
      while (cur) {
        if (!cur->left) {
          // 如果当前节点没有左子节点，则输出当前节点的值并进入右子树
          std::cout << cur->val << " ";
          cur = cur->right;
          continue;
        }
        // 找到当前节点的左子树的最右节点
        TreeNode* mostRight = cur->left;
        while (mostRight->right && mostRight->right != cur) {
          mostRight = mostRight->right;
        }
        if (!mostRight->right) {
          // 如果最右节点的right指针为空，将其指向当前节点，并进入左子树
          mostRight->right = cur;
          cur = cur->left;
        } else {
          // 如果最右节点的right指针指向当前节点，说明左子树已经遍历完毕，输出当前节点的值并进入右子树
          mostRight->right = nullptr;
          std::cout << cur->val << " ";
          cur = cur->right;
        }
      }
    }
    ```

### 无根树

#### 过程

树的遍历一般为深度优先遍历，这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点．

由于树是无环图，因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来，此后进入除该结点外的所有相邻结点，即可避免重复访问．

???+ note "实现"
    ```cpp
    void dfs(int u, int from) {
      // 递归进入除了 from 之外的所有子结点
      // 对于出发结点，from 为空，故会访问所有相邻结点，这与期望一致
      for (int v : adj[u])
        if (v != from) {
          dfs(v, u);
        }
    }
    
    // 开始遍历时
    int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号
    int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点
    dfs(root, EMPTY_NODE);
    ```

### 有根树

对于有根树，需要区分结点的上下关系．

考察上面的遍历过程，若从根开始遍历，则访问到一个结点时 `from` 的值，就是其父结点的编号．

通过这个方式，可以对于无向的输入求出所有结点的父结点，以及子结点列表．

**本页面部分内容引用自博文 [二叉树：前序遍历、中序遍历、后续遍历](https://blog.csdn.net/weixin_43357638/article/details/99730284)，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议．**
