???+ note "Note"
    本文翻译自 [e-maxx Prüfer Code](https://github.com/e-maxx-eng/e-maxx-eng/blob/master/src/graph/pruefer_code.md)．另外解释一下，原文的结点是从 $0$ 开始标号的，本文按照大多数人的习惯改成了从 $1$ 标号．

这篇文章介绍 Prüfer 序列 (Prüfer code)，这是一种将带标号的树用一个唯一的整数序列表示的方法．

使用 Prüfer 序列可以证明 [凯莱公式](#cayley-公式-cayleys-formula)(Cayley's formula)．并且我们也会讲解如何计算在一个图中加边使图连通的方案数．

**注意**：我们不考虑含有 $1$ 个结点的树．

## Prüfer 序列

### 引入

Prüfer 序列可以将一个带标号 $n$ 个结点的树用 $[1,n]$ 中的 $n-2$ 个整数表示．你也可以把它理解为完全图的生成树与数列之间的双射．常用组合计数问题中．

Heinz Prüfer 于 1918 年发明这个序列来证明 [凯莱公式](#cayley-公式-cayleys-formula)．

### 对树建立 Prüfer 序列

Prüfer 是这样建立的：每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个结点．重复 $n-2$ 次后就只剩下两个结点，算法结束．

显然使用堆可以做到 $O(n\log n)$ 的复杂度

???+ note "实现"
    === "C++"
        ```cpp
        // 代码摘自原文，结点是从 0 标号的
        vector<vector<int>> adj;
        
        vector<int> pruefer_code() {
          int n = adj.size();
          set<int> leafs;
          vector<int> degree(n);
          vector<bool> killed(n);
          for (int i = 0; i < n; i++) {
            degree[i] = adj[i].size();
            if (degree[i] == 1) leafs.insert(i);
          }
        
          vector<int> code(n - 2);
          for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
            int leaf = *leafs.begin();
            leafs.erase(leafs.begin());
            killed[leaf] = true;
            int v;
            for (int u : adj[leaf])
              if (!killed[u]) v = u;
            code[i] = v;
            if (--degree[v] == 1) leafs.insert(v);
          }
          return code;
        }
        ```
    
    === "Python"
        ```python
        # 结点是从 0 标号的
        adj = [[]]
        
        
        def pruefer_code():
            n = len(adj)
            leafs = set()
            degree = [0] * n
            killed = [False] * n
            for i in range(1, n):
                degree[i] = len(adj[i])
                if degree[i] == 1:
                    leafs.intersection(i)
            code = [0] * (n - 2)
            for i in range(1, n - 2):
                leaf = leafs[0]
                leafs.pop()
                killed[leaf] = True
                for u in adj[leaf]:
                    if killed[u] == False:
                        v = u
                code[i] = v
                if degree[v] == 1:
                    degree[v] = degree[v] - 1
                    leafs.intersection(v)
            return code
        ```

例如，这是一棵 7 个结点的树的 Prüfer 序列构建过程：

![Prüfer](./images/prufer1.png)

最终的序列就是 $2,2,3,3,2$．

当然，也有一个线性的构造算法．

### Prüfer 序列的线性构造算法

线性构造的本质就是维护一个指针指向我们将要删除的结点．首先发现，叶结点数是非严格单调递减的，删去一个叶结点，叶结点总数要么不变要么减 1．

于是我们考虑这样一个过程：维护一个指针 $p$．初始时 $p$ 指向编号最小的叶结点．同时我们维护每个结点的度数，方便我们知道在删除结点的时侯是否产生新的叶结点．操作如下：

1.  删除 $p$ 指向的结点，并检查是否产生新的叶结点．
2.  如果产生新的叶结点，假设编号为 $x$，我们比较 $p,x$ 的大小关系．如果 $x>p$，那么不做其他操作；否则就立刻删除 $x$，然后检查删除 $x$ 后是否产生新的叶结点，重复 $2$ 步骤，直到未产生新节点或者新节点的编号 $>p$．
3.  让指针 $p$ 自增直到遇到一个未被删除叶结点为止；

#### 正确性

循环上述操作 $n-2$ 次，就完成了序列的构造．接下来考虑算法的正确性．

$p$ 是当前编号最小的叶结点，若删除 $p$ 后未产生叶结点，我们就只能去寻找下一个叶结点；若产生了叶结点 $x$：

-   如果 $x>p$，则反正 $p$ 往后扫描都会扫到它，于是不做操作；
-   如果 $x<p$，因为 $p$ 原本就是编号最小的，而 $x$ 比 $p$ 还小，所以 $x$ 就是当前编号最小的叶结点，优先删除．删除 $x$ 继续这样的考虑直到没有更小的叶结点．

算法复杂度分析，发现每条边最多被访问一次（在删度数的时侯），而指针最多遍历每个结点一次，因此复杂度是 $O(n)$ 的．

#### 实现

=== "C++"
    ```cpp
    // 从原文摘的代码，同样以 0 为起点
    vector<vector<int>> adj;
    vector<int> parent;
    
    void dfs(int v) {
      for (int u : adj[v]) {
        if (u != parent[v]) parent[u] = v, dfs(u);
      }
    }
    
    vector<int> pruefer_code() {
      int n = adj.size();
      parent.resize(n), parent[n - 1] = -1;
      dfs(n - 1);
    
      int ptr = -1;
      vector<int> degree(n);
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        degree[i] = adj[i].size();
        if (degree[i] == 1 && ptr == -1) ptr = i;
      }
    
      vector<int> code(n - 2);
      int leaf = ptr;
      for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
        int next = parent[leaf];
        code[i] = next;
        if (--degree[next] == 1 && next < ptr) {
          leaf = next;
        } else {
          ptr++;
          while (degree[ptr] != 1) ptr++;
          leaf = ptr;
        }
      }
      return code;
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    # 同样以 0 为起点
    adj = [[]]
    parent = [0] * n
    
    
    def dfs(v):
        for u in adj[v]:
            if u != parent[v]:
                parent[u] = v
                dfs(u)
    
    
    def pruefer_code():
        n = len(adj)
        parent[n - 1] = -1
        dfs(n - 1)
    
        ptr = -1
        degree = [0] * n
        for i in range(0, n):
            degree[i] = len(adj[i])
            if degree[i] == 1 and ptr == -1:
                ptr = i
    
        code = [0] * (n - 2)
        leaf = ptr
        for i in range(0, n - 2):
            next = parent[leaf]
            code[i] = next
            if degree[next] == 1 and next < ptr:
                degree[next] = degree[next] - 1
                leaf = next
            else:
                ptr = ptr + 1
                while degree[ptr] != 1:
                    ptr = ptr + 1
                leaf = ptr
        return code
    ```

### Prüfer 序列的性质

1.  在构造完 Prüfer 序列后原树中会剩下两个结点，其中一个一定是编号最大的点 $n$．
2.  每个结点在序列中出现的次数是其度数减 $1$．（没有出现的就是叶结点）

### 用 Prüfer 序列重建树

重建树的方法是类似的．根据 Prüfer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数．然后也可以得到编号最小的叶结点，而这个结点一定与 Prüfer 序列的第一个数所对应的点连接．然后我们同时将这两个结点的度数减一．

讲到这里也许你已经知道该怎么做了．每次我们选择一个度数为 $1$ 的编号最小的结点，与当前枚举到的 Prüfer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度．到最后我们剩下两个度数为 $1$ 的点，其中一个是结点 $n$．把它们连上．使用堆维护这个过程，在节点度数下降的过程中如果发现度数减到 $1$ 就把这个结点添加到堆中，这样做的复杂度是 $O(n\log n)$ 的．

???+ note "实现"
    ```cpp
    // 原文摘代码
    vector<pair<int, int>> pruefer_decode(vector<int> const& code) {
      int n = code.size() + 2;
      vector<int> degree(n, 1);
      for (int i : code) degree[i]++;
    
      set<int> leaves;
      for (int i = 0; i < n; i++)
        if (degree[i] == 1) leaves.insert(i);
    
      vector<pair<int, int>> edges;
      for (int v : code) {
        int leaf = *leaves.begin();
        leaves.erase(leaves.begin());
    
        edges.emplace_back(leaf, v);
        if (--degree[v] == 1) leaves.insert(v);
      }
      edges.emplace_back(*leaves.begin(), n - 1);
      return edges;
    }
    ```

### 线性时间重建树

同线性构造 Prüfer 序列的方法．在删度数的时侯会产生新的叶结点，于是判断这个叶结点与指针 $p$ 的大小关系，如果更小就优先考虑它．

#### 实现

```cpp
// 原文摘代码
vector<pair<int, int>> pruefer_decode(vector<int> const& code) {
  int n = code.size() + 2;
  vector<int> degree(n, 1);
  for (int i : code) degree[i]++;

  int ptr = 0;
  while (degree[ptr] != 1) ptr++;
  int leaf = ptr;

  vector<pair<int, int>> edges;
  for (int v : code) {
    edges.emplace_back(leaf, v);
    if (--degree[v] == 1 && v < ptr) {
      leaf = v;
    } else {
      ptr++;
      while (degree[ptr] != 1) ptr++;
      leaf = ptr;
    }
  }
  edges.emplace_back(leaf, n - 1);
  return edges;
}
```

通过这些过程其实可以理解，Prüfer 序列与带标号无根树建立了双射关系．

## Cayley 公式 (Cayley's formula)

完全图 $K_n$ 有 $n^{n-2}$ 棵生成树．

怎么证明？方法很多，但是用 Prüfer 序列证是很简单的．任意一个长度为 $n-2$ 的值域 $[1,n]$ 的整数序列都可以通过 Prüfer 序列双射对应一个生成树，于是方案数就是 $n^{n-2}$．

## 图连通方案数

Prüfer 序列可能比你想得还强大．它能创造比 [凯莱公式](#cayley-公式-cayleys-formula) 更通用的公式．比如以下问题：

> 一个 $n$ 个点 $m$ 条边的带标号无向图有 $k$ 个连通块．我们希望添加 $k-1$ 条边使得整个图连通．求方案数．

### 证明

设 $s_i$ 表示第 $i$ 个连通块内点的数量．我们考虑对 $k$ 个连通块构造 Prüfer 序列．由于两个连通块之间的连接方法很多，这并不是普通的 Prüfer 序列．于是不妨假设 $d_i$ 为第 $i$ 个连通块的度数．由于度数之和是边数的两倍，于是 $\sum_{i=1}^kd_i=2k-2$．则对于给定的 $d$ 序列构造 Prüfer 序列的方案数是

$$
\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}=\frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!\cdots(d_k-1)!}
$$

对于第 $i$ 个连通块，它的连接方式有 ${s_i}^{d_i}$ 种，因此对于给定 $d$ 序列使图连通的方案数是

$$
\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{d_i}
$$

现在我们要枚举 $d$ 序列，式子变成

$$
\sum_{d_i\ge 1，\sum_{i=1}^kd_i=2k-2}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{d_i}
$$

好的这是一个非常不喜闻乐见的式子．但是别慌！我们有多元二项式定理：

$$
(x_1 + \dots + x_m)^p = \sum_{\substack{c_i \ge 0 ,\  \sum_{i=1}^m c_i = p}} \binom{p}{c_1, c_2, \cdots ,c_m}\cdot \prod_{i=1}^m{x_i}^{c_i}
$$

那么我们对原式做一下换元，设 $e_i=d_i-1$，显然 $\sum_{i=1}^ke_i=k-2$，于是原式变成

$$
\sum_{e_i\ge 0，\sum_{i=1}^ke_i=k-2}\binom{k-2}{e_1,e_2,\cdots,e_k}\cdot \prod_{i=1}^k{s_i}^{e_i+1}
$$

化简得到

$$
(s_1+s_2+\cdots+s_k)^{k-2}\cdot \prod_{i=1}^ks_i
$$

即

$$
n^{k-2}\cdot\prod_{i=1}^ks_i
$$

为答案．

## 习题

-   [Luogu P6086【模板】Prüfer 序列](https://www.luogu.com.cn/problem/P6086)（模板题）
-   [Luogu P11039【MX-X3-T6】「RiOI-4」TECHNOPOLIS 2085](https://www.luogu.com.cn/problem/P11039)
-   [UVa #10843 - Anne's game](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=20&page=show_problem&problem=1784)
-   [Timus #1069 - Prufer Code](http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1069)
-   [Codeforces - Clues](http://codeforces.com/contest/156/problem/D)
-   [Topcoder - TheCitiesAndRoadsDivTwo](https://archive.topcoder.com/ProblemStatement/pm/10774)
