前置知识：[前缀和](./prefix-sum.md)

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    本页面要介绍的不是 [**基数排序**](./radix-sort.md)．

本页面将简要介绍计数排序．

## 定义

计数排序（英语：Counting sort）是一种线性时间的排序算法．

## 过程

计数排序的工作原理是使用一个额外的数组 $C$，其中第 $i$ 个元素是待排序数组 $A$ 中值等于 $i$ 的元素的个数，然后根据数组 $C$ 来将 $A$ 中的元素排到正确的位置．[^ref1]

它的工作过程分为三个步骤：

1.  计算每个数出现了几次；
2.  求出每个数出现次数的 [前缀和](./prefix-sum.md)；
3.  利用出现次数的前缀和，从右至左计算每个数的排名．

### 计算前缀和的原因

直接将 $C$ 中正数对应的元素依次放入 $A$ 中不能解决元素重复的情形．

我们通过为额外数组 $C$ 中的每一项计算前缀和，结合每一项的数值，就可以为重复元素确定一个唯一排名：

额外数组 $C$ 中每一项的数值即是该 key 值下重复元素的个数，而该项的前缀和即是排在最后一个的重复元素的排名．

如果按照 $A$ 的逆序进行排列，那么显然排序后的数组将保持 $A$ 的原序（相同 key 值情况下），也即得到一种稳定的排序算法．

![counting sort animate example](images/counting-sort-animate.svg)

## 性质

### 稳定性

计数排序是一种稳定的排序算法．

### 时间复杂度

计数排序的时间复杂度为 $O(n+w)$，其中 $w$ 代表待排序数据的值域大小．

## 代码实现

### 伪代码

$$
\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Input. } \text{An array } A \text{ consisting of }n\text{ positive integers no greater than } w. \\
2 & \textbf{Output. } \text{Array }A\text{ after sorting in nondecreasing order stably.} \\
3 & \textbf{Method. }  \\
4 & \textbf{for }i\gets0\textbf{ to }w\\
5 & \qquad \textit{cnt}[i]\gets0\\
6 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }n\\
7 & \qquad \textit{cnt}[A[i]]\gets\textit{cnt}[A[i]]+1\\
8 & \textbf{for }i\gets1\textbf{ to }w\\
9 & \qquad \textit{cnt}[i]\gets \textit{cnt}[i]+\textit{cnt}[i-1]\\
10 & \textbf{for }i\gets n\textbf{ downto }1\\
11 & \qquad B[\textit{cnt}[A[i]]]\gets A[i]\\
12 & \qquad \textit{cnt}[A[i]]\gets \textit{cnt}[A[i]]-1\\
13 & \textbf{return } B
\end{array}
$$

=== "C++"
    ```cpp
    --8<-- "docs/basic/code/counting-sort/counting-sort_1.cpp"
    ```

=== "Python"
    ```python
    --8<-- "docs/basic/code/counting-sort/counting-sort_1.py:core"
    ```

## 参考资料与注释

[^ref1]: [计数排序 - 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AE%A1%E6%95%B0%E6%8E%92%E5%BA%8F)
