## 特征子空间

矩阵 $A$ 的属于 $\lambda_0$ 的全部特征向量，再添上零向量，构成一个线性空间，称为矩阵 $A$ 的一个特征子空间，记为 $E(\lambda_0)$．它是齐次线性方程组：

$$
(\lambda_0 I-A)X=0
$$

的解空间．

对于特征子空间 $E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)$，由亏加秩定理有：

$$
r(\lambda_i I-A)+\operatorname{dim} N(\lambda_i I-A)=n
$$

因此，特征子空间 $E(\lambda_i)$ 的维数为：

$$
\operatorname{dim} E(\lambda_i)=n-r(\lambda_i I-A)
$$

也称为 $\lambda_i$ 的 **几何重数**．

## 不变子空间

在研究线性变换 $T$ 的时候，常常希望选取空间 $V$ 的一个基，使得线性变换 $T$ 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状．

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，$W$ 是 $V$ 的一个子空间，$T$ 是 $V$ 上的一个线性变换．如果对于 $W$ 中任意的向量 $x$，都有 $T(x)$ 也在 $W$ 中（也称为空间在变换下不变或稳定），称 $W$ 是 $T$ 的一个不变子空间．

空间在变换下不变，并不是说坐标在变换下真的「不变」，有可能是进行了一个拉伸等变形，只是变形后还落在空间里．

-   线性空间 $V$ 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间．
-   对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，空间 $V$ 和零子空间都是 $T$ 的不变子空间，称为平凡不变子空间．
-   不变子空间的交与和也是不变子空间．

设 $W$ 是线性变换 $T$ 的一个不变子空间．只考虑 $T$ 在不变子空间 $W$ 上的作用，就得到子空间 $W$ 本身的线性变换，称为 $T$ 在子空间 $W$ 上的限制，记作 ${T|}_W$．

对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，像空间 $R(T)$ 与核空间 $N(T)$ 是 $T$ 的不变子空间．这两种情况的含义是，空间 $V$ 在变换前后，完成了自身的压缩（像空间），或者压缩到 $0$（核空间）．

对于 $V$ 中任意的线性变换 $T$，$T$ 的特征子空间是 $T$ 的不变子空间．

## 准素分解

根据代数基本定理，最小多项式可以分解为：

$$
m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}\cdots{(\lambda-\lambda_S)}^{r_S}
$$

考虑最小多项式代入变元 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 后，各个因式的核空间，构成矩阵 $A$ 的一系列不变子空间：

$$
W_i=N({(\lambda_i I-A)}^{r_i})
$$

定理：该不变子空间 $W_i$ 的维数，恰好为特征值 $\lambda_i$ 的代数重数．

回顾一下，代数重数是指特征多项式各个因式的次数，几何重数是指特征子空间 $E(\lambda_i)=N(\lambda_i I-A)$ 的维数．这个不变子空间 $W_i$ 与特征子空间 $E(\lambda_i)$，两者都是矩阵的核空间，并且两个矩阵构成最小多项式 $r_i$ 次幂的关系．也就是说，特征子空间的维数是几何重数，「特征子空间」经过最小多项式 $r_i$ 次幂后到达一个「不变子空间」，不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数．

该定理其实是下面准素分解定理的推论．

记矩阵 $A$ 对应的线性变换 $T$，在每个子空间 $W_i$ 上的限制 $T_i={T|}_{W_i}$．于是 $T_i$ 的最小多项式是 $(x-\lambda_i)^{r_i}$．

定理：设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间，$T$ 是 $V$ 上的一个线性变换．那么空间 $V$ 可以关于线性变换 $T$ 进行准素分解，拆成若干不变子空间 $W_i$ 的直和．

$$
V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S
$$

这意味着，$T$ 在某组基下的矩阵是准对角阵：

$$
\operatorname{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_S\}
$$

其中，$A_i$ 是 $T_i$ 在对应基下的矩阵．

该定理表明，可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵．

## 可对角化矩阵

对于 $n$ 阶方阵 $A$，如果相似于一个对角阵，则称 $A$ 为可对角化矩阵，或称单纯矩阵．

-   对角阵的和、积、逆，如果存在，仍然是对角阵，其对角线上的元素就是它的特征值．
-   线性变换 $T$ 的矩阵为可对角化矩阵，等价于 $T$ 在某组基下的矩阵为对角阵．

定理：设矩阵 $A$ 的全部互异特征根为 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$，则以下命题等价：

-   矩阵 $A$ 可对角化．
-   矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．
-   以下公式成立：

$$
\operatorname{dim} E(\lambda_1)+\cdots+\operatorname{dim} E(\lambda_m)=n
$$

前文已经指出，特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数，特征子空间的维数称为几何重数．这个定理也表明，矩阵 $A$ 可对角化，等价于 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 的代数重数都等于它的几何重数．

推论：如果 $n$ 阶方阵 $A$ 恰有 $n$ 个互异特征值，则它必可对角化．反之则不一定．

定理：矩阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 的最小多项式没有重根．

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变．

特征向量完全可能不是实数，也完全可能找不到 $n$ 个线性无关的特征向量．

对于重特征值而言，特征向量张成空间．为了描述这个空间，需要从其中选择代表．一般会选择线性无关的代表，代表的个数就是空间的维数．

选取代表时，常常将它们正交化与单位化．最终得到的就是一套单位正交的代表．

特征向量不一定正交，不同特征值的特征向量，可能无法正交．因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行．但是单位化可以对任意特征向量进行．

## 幂零矩阵

设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换．如果存在一个正整数 $r$，使得 $T^r$ 为零变换，称 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换．

对于某一个正整数 $r$，满足条件 $N^r=0$ 的矩阵称为幂零矩阵．

一般可以进一步假定 $r$ 是使 $T^r$ 为零变换的最小正整数，于是 $T$ 的最小多项式是 $x^r$．于是存在一个向量 $\xi_0$，使得：

-   $$
    T^r(\xi_0)=0
    $$
-   $$
    T^{r-1}(\xi_0)\neq 0
    $$

### 循环子空间

定理：设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换，$\xi$ 是空间 $V$ 的一个向量．如果存在一个正整数 $s$，使得：

-   $$
    T^s(\xi)=0
    $$
-   $$
    T^{s-1}(\xi)\neq 0
    $$

那么向量 $\xi,T(\xi),\cdots,T^{s-1}(\xi)$ 线性无关．

由这个定理可以给出一个定义：

设 $T$ 是空间 $V$ 的一个线性变换，$W$ 是 $V$ 的一个子空间．如果存在一个向量 $\xi_0$ 和一个正整数 $r$，使得：

-   向量 $\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)$ 构成 $W$ 的一个基．
-   如下等式成立：

    $$
    T^r(\xi_0)=0
    $$

那么子空间 $W$ 称为关于 $T$ 的一个循环子空间，简称 $T$ 循环子空间．此时 $\xi_0$ 称为循环子空间 $W$ 的一个生成向量，向量 $\xi_0,T(\xi_0),\cdots,T^{r-1}(\xi_0)$ 称为 $W$ 的一个循环基．

显然，一个 $T$ 循环子空间 $W$ 在 $T$ 作用下不变，并且对于循环子空间 $W$ 中的任意向量 $\xi$，均有 $T^r(\xi)=0$，这里 $r$ 为循环子空间的维数．

### 幂零 Jordan 块

如果空间 $W$ 是变换 $T$ 的循环子空间，那么 $T$ 在 $W$ 上的限制 ${T|}_W$ 是 $W$ 的一个幂零变换，并且 ${T|}_W$ 关于 $W$ 的倒序排列的循环基 $T^{r-1}(\xi_0),T^{r-2}(\xi_0),\cdots,\xi_0$ 的矩阵是如下形状的 $r$ 阶上三角矩阵：

$$
N_r=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots &   & \vdots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
$$

矩阵 $N_r$ 称为一个 $r$ 阶幂零 Jordan 矩阵，或者 $r$ 阶幂零 Jordan 块．

设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，把出现在 $V$ 关于 $T$ 的循环子空间的分解中，唯一确定的一组正整数 $r_1\geq\cdots\geq r_S$ 叫做 $T$ 的不变指数．

对于 $n$ 阶幂零矩阵 $A$，$A$ 与一个上述形状的矩阵 $N$ 相似，也唯一确定一个正整数序列 $r_1\geq\cdots\geq r_S$，称为矩阵 $A$ 的不变指数．

幂零阵虽然不能和对角阵相似，但是可以相似于这样的标准形式．在 Jordan 标准型，将相似对角化与幂零阵的标准形式，二者结合起来，给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式．

### 一些定理

1.  设 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换，而

    $$
    h(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m
    $$

    是一个多项式，那么当且仅当 $a_0\neq 0$ 时，线性变换 $h(T)$ 有逆变换．当 $h(T)$ 可逆时，$h(T)$ 的逆变换也是 $T$ 的一个多项式．

2.  设 $T$ 是空间 $V$ 的一个幂零变换，$W$ 是一个 $r$ 维 $T$ 循环子空间，$\xi$ 是 $W$ 中的向量．如果存在一个整数 $k$，使得

    $$
    T^{r-k}(\xi)=0
    $$

    那么存在 $W$ 中的向量 $\eta$，使得

    $$
    \xi=T^k(\eta)
    $$

3.  设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，$x^r$ 是 $T$ 的最小多项式，令 $W_1$ 是一个 $r$ 维 $T$ 循环子空间，那么存在 $W_1$ 的一个余子空间 $W_2$，使得：

    $$
    V=W_1\oplus W_2
    $$

    并且 $W_2$ 也在 $T$ 作用下不变．

4.  设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 的一个幂零变换，那么 $V$ 可以分解为 $T$ 循环子空间的直和：

    $$
    V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_S
    $$

5.  每一个 $n$ 阶幂零矩阵都与一个形如：

    $$
    N=\begin{pmatrix}
    N_{r_1} &   &   & 0\\
      & N_{r_2} &   &  \\
      &   & \cdots &  \\
    0 &   &   & N_{r_S}\\
    \end{pmatrix}
    $$

    的矩阵相似，这里的每一个 $N_{r_i}$ 是一个 $r_i$ 阶幂零 Jordan 块．

6.  如果规定 $T$ 循环子空间 $W_i$ 按照维数 $r_i$ 降序排列 $r_1\geq\cdots\geq r_S$，那么将 $V$ 分解为 $T$ 循环子空间的方法是由 $T$ 唯一确定的．
