author: Early0v0, frank-xjh, Great-designer, ksyx, qiqistyle, Tiphereth-A , Saisyc, shuzhouliu, Xeonacid, xyf007

本页面将简要介绍枚举算法．

## 简介

枚举（英语：Enumerate）是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略．

枚举的思想是不断地猜测，从可能的集合中一一尝试，然后再判断题目的条件是否成立．

## 要点

### 给出解空间

建立简洁的数学模型．

枚举的时候要想清楚：可能的情况是什么？要枚举哪些要素？

### 减少枚举的空间

枚举的范围是什么？是所有的内容都需要枚举吗？

在用枚举法解决问题的时候，一定要想清楚这两件事，否则会带来不必要的时间开销．

### 选择合适的枚举顺序

根据题目判断．比如例题中要求的是最大的符合条件的素数，那自然是从大到小枚举比较合适．

## 例题

以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子．

??? note "例题"
    给定一个数组，其所有元素互不相同且均不为 $0$．求该数组中和为 $0$ 的数对个数．

??? note "解题思路"
    枚举两个数的代码很容易就可以写出来．
    
    === "C++"
        ```cpp
        for (int i = 0; i < n; ++i)
          for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
        ```
    
    === "Python"
        ```python
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                if a[i] + a[j] == 0:
                    ans += 1
        ```
    
    === "Java"
        ```java
        for (int i = 0; i < n; ++i)
          for (int j = 0; j < n; ++j)
            if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
        ```
    
    来看看枚举的范围如何优化．由于题中没要求数对是有序的，答案就是有序的情况的两倍（考虑如果 `(a, b)` 是答案，那么 `(b, a)` 也是答案）．对于这种情况，只需统计人为要求有顺序之后的答案，最后再乘上 $2$ 就好了．
    
    不妨要求第一个数要出现在靠后的位置．代码如下：
    
    === "C++"
        ```cpp
        for (int i = 0; i < n; ++i)
          for (int j = 0; j < i; ++j)
            if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
        ans *= 2;
        ```
    
    === "Python"
        ```python
        for i in range(n):
            for j in range(i):
                if a[i] + a[j] == 0:
                    ans += 1
        ans *= 2
        ```
    
    === "Java"
        ```java
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = 0; j < i; ++j)
                if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
        ans *= 2;
        ```
    
    不难发现这里已经减少了 $j$ 的枚举范围，减少了这段代码的时间开销．
    
    我们可以在此之上进一步优化．
    
    两个数是否都一定要枚举出来呢？枚举其中一个数之后，题目的条件已经确定了其他的要素（另一个数）的条件，如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在，就可以省掉枚举后一个数的时间了．较为进阶地，在数据范围允许的情况下，我们可以使用桶[^1]记录遍历过的数．
    
    === "C++"
        ```cpp
        --8<-- "docs/basic/code/enumerate/enumerate_1.cpp"
        ```
    
    === "Python"
        ```python
        met = [False] * (MAXN * 2 + 1)
        for i in range(n):
            if met[MAXN - a[i]]:
                ans += 1
            met[a[i] + MAXN] = True
        ans *= 2
        ```
    
    === "Java"
        ```java
        boolean[] met = new boolean[MAXN * 2 + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;
            met[MAXN + a[i]] = true;
        }
        ans *= 2;
        ```

### 复杂度分析

-   时间复杂度分析：对 $a$ 数组遍历了一遍就能完成题目要求，当 $n$ 足够大的时候时间复杂度为 $O(n)$．
-   空间复杂度分析：$O(n+\max\{|x|:x\in a\})$．

## 习题

-   [2811: 熄灯问题 - OpenJudge](http://bailian.openjudge.cn/practice/2811/)

## 脚注

[^1]: [桶排序](../basic/bucket-sort.md) 以及 [主元素问题](../misc/main-element.md#离线算法) 以及 [Stack Overflow 上对桶数据结构的讲解](https://stackoverflow.com/questions/42399355/what-is-a-bucket-or-double-bucket-data-structure)（英文）
