## 主席树

主席树全称是可持久化权值线段树，参见 [知乎讨论](https://www.zhihu.com/question/59195374)．

???+ warning "关于函数式线段树"
    **函数式线段树** 是指使用函数式编程思想的线段树．在函数式编程思想中，将计算机运算视为数学函数，并避免可改变的状态或变量．不难发现，函数式线段树是 [完全可持久化](persistent.md#完全可持久化-fully-persistent) 的．

## 引入

先引入一道题目：给定 $n$ 个整数构成的序列 $a$，将对于指定的闭区间 $[l, r]$ 查询其区间内的第 $k$ 小值．

你该如何解决？

一种可行的方案是：使用主席树．
主席树的主要思想就是：保存每次插入操作时的历史版本，以便查询区间第 $k$ 小．

怎么保存呢？简单暴力一点，每次开一棵线段树呗．  
那空间还不爆掉？

## 解释

我们分析一下，发现每次修改操作修改的点的个数是一样的．  
（例如下图，修改了 $[1,8]$ 中对应权值为 1 的结点，红色的点即为更改的点）  
![](./images/persistent-seg.png)

只更改了 $O(\log{n})$ 个结点，形成一条链，也就是说每次更改的结点数 = 树的高度．  
注意主席树不能使用堆式存储法，就是说不能用 $x\times 2$，$x\times 2+1$ 来表示左右儿子，而是应该动态开点，并保存每个节点的左右儿子编号．  
所以我们只要在记录左右儿子的基础上，保存插入每个数的时候的根节点就可以实现持久化了．

我们把问题简化一下：每次求 $[1,r]$ 区间内的 $k$ 小值．  
怎么做呢？只需要找到插入 r 时的根节点版本，然后用普通权值线段树（有的叫键值线段树/值域线段树）做就行了．

这个相信大家都能理解，回到原问题——求 $[l,r]$ 区间 $k$ 小值．  
这里我们再联系另外一个知识：**前缀和**．  
这个小东西巧妙运用了区间减法的性质，通过预处理从而达到 $O(1)$ 回答每个询问．

我们可以发现，主席树统计的信息也满足这个性质．  
所以……如果需要得到 $[l,r]$ 的统计信息，只需要用 $[1,r]$ 的信息减去 $[1,l - 1]$ 的信息就行了．

至此，该问题解决！

关于空间问题，我们分析一下：由于我们是动态开点的，所以一棵线段树只会出现 $2n-1$ 个结点．  
然后，有 $n$ 次修改，每次至多增加 $\lceil\log_2{n}\rceil+1$ 个结点．因此，最坏情况下 $n$ 次修改后的结点总数会达到 $2n-1+n(\lceil\log_2{n}\rceil+1)$．
此题的 $n \leq 10^5$，单次修改至多增加 $\lceil\log_2{10^5}\rceil+1 = 18$ 个结点，故 $n$ 次修改后的结点总数为 $2\times 10^5-1+18\times 10^5$，忽略掉 $-1$，大概就是 $20\times 10^5$．

最后给一个忠告：千万不要吝啬空间（大多数题目中空间限制都较为宽松，因此一般不用担心空间超限的问题）！大胆一点，直接上个 $2^5\times 10^5$，接近原空间的两倍（即 `n << 5`）．

## 实现

```cpp
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 1e5;  // 数据范围
int tot, n, m;
int sum[(MAXN << 5) + 10], rt[MAXN + 10], ls[(MAXN << 5) + 10],
    rs[(MAXN << 5) + 10];
int a[MAXN + 10], ind[MAXN + 10], len;

int getid(const int &val) {  // 离散化
  return lower_bound(ind + 1, ind + len + 1, val) - ind;
}

int build(int l, int r) {  // 建树
  int root = ++tot;
  if (l == r) return root;
  int mid = l + r >> 1;
  ls[root] = build(l, mid);
  rs[root] = build(mid + 1, r);
  return root;  // 返回该子树的根节点
}

int update(int k, int l, int r, int root) {  // 插入操作
  int dir = ++tot;
  ls[dir] = ls[root], rs[dir] = rs[root], sum[dir] = sum[root] + 1;
  if (l == r) return dir;
  int mid = l + r >> 1;
  if (k <= mid)
    ls[dir] = update(k, l, mid, ls[dir]);
  else
    rs[dir] = update(k, mid + 1, r, rs[dir]);
  return dir;
}

int query(int u, int v, int l, int r, int k) {  // 查询操作
  int mid = l + r >> 1,
      x = sum[ls[v]] - sum[ls[u]];  // 通过区间减法得到左儿子中所存储的数值个数
  if (l == r) return l;
  if (k <= x)  // 若 k 小于等于 x ，则说明第 k 小的数字存储在在左儿子中
    return query(ls[u], ls[v], l, mid, k);
  else  // 否则说明在右儿子中
    return query(rs[u], rs[v], mid + 1, r, k - x);
}

void init() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", a + i);
  memcpy(ind, a, sizeof ind);
  sort(ind + 1, ind + n + 1);
  len = unique(ind + 1, ind + n + 1) - ind - 1;
  rt[0] = build(1, len);
  for (int i = 1; i <= n; ++i) rt[i] = update(getid(a[i]), 1, len, rt[i - 1]);
}

int l, r, k;

void work() {
  while (m--) {
    scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
    printf("%d\n", ind[query(rt[l - 1], rt[r], 1, len, k)]);  // 回答询问
  }
}

int main() {
  init();
  work();
  return 0;
}
```

## 拓展：基于主席树的可持久化并查集

主席树是实现可持久化并查集的便捷方式，在此也提供一个基于主席树的可持久化并查集实现示例．

```cpp
--8<-- "docs/ds/code/persistent-seg/persistent-seg_1.cpp"
```

## 参考

<https://en.wikipedia.org/wiki/Persistent_data_structure>

<https://www.cnblogs.com/zinthos/p/3899565.html>
