author: leoleoasd, yzxoi, Estrella-Explore

本页面将简要介绍构造题这类题型．

## 引入

构造题是比赛中常见的一类题型．

从形式上来看，问题的答案往往具有某种规律性，使得在问题规模迅速增大的时候，仍然有机会比较容易地得到答案．

这要求解题时要思考问题规模增长对答案的影响，这种影响是否可以推广．例如，在设计动态规划方法的时候，要考虑从一个状态到后继状态的转移会造成什么影响．

## 特点

构造题一个很显著的特点就是高自由度，也就是说一道题的构造方式可能有很多种，但是会有一种较为简单的构造方式满足题意．看起来是放宽了要求，让题目变的简单了，但很多时候，正是这种高自由度导致题目没有明确思路而无从下手．

构造题另一个特点就是形式灵活，变化多样．并不存在一个通用解法或套路可以解决所有构造题，甚至很难找出解题思路的共性．

## 例题

下面将列举一些例题帮助读者体会构造题的一些思想内涵，给予思路上的启发．建议大家深入思考后再查看题解，也欢迎大家参与分享有趣的构造题．

### 例题 1

???+ note "[Codeforces Round #384 (Div. 2) C.Vladik and fractions](http://codeforces.com/problemset/problem/743/C)"
    构造一组 $x,y,z$，使得对于给定的 $n$，满足 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{n}$

??? note "解题思路"
    从样例二可以看出本题的构造方法．
    
    显然 $n,n+1,n(n+1)$ 为一组合法解．特殊地，当 $n=1$ 时，无解，这是因为 $n+1$ 与 $n(n+1)$ 此时相等．
    
    至于构造思路是怎么产生的，大概就是观察样例加上一点点数感了吧．此题对于数学直觉较强的人来说并不难．

### 例题 2

???+ note "[Luogu P3599 Koishi Loves Construction](https://www.luogu.com.cn/problem/P3599)"
    Task1：试判断能否构造并构造一个长度为 $n$ 的 $1\dots n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀和在模 $n$ 的意义下互不相同
    
    Task2：试判断能否构造并构造一个长度为 $n$ 的 $1\dots n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀积在模 $n$ 的意义下互不相同

??? note "解题思路"
    对于 task1：
    
    当 $n$ 为奇数时，无法构造出合法解；
    
    当 $n$ 为偶数时，可以构造一个形如 $n,1,n-2,3,\cdots$ 这样的数列．
    
    首先，我们可以发现 $n$ 必定出现在数列的第一位，否则 $n$ 出现前后的两个前缀和必然会陷入模意义下相等的尴尬境地；
    
    然后，我们考虑构造出整个序列的方式：
    
    考虑通过构造前缀和序列的方式来获得原数列，可以发现前缀和序列两两之间的差在模意义下不能相等，因为前缀和序列的差分序列对应着原来的排列．
    
    因此我们尝试以前缀和数列在模意义下为
    
    $$
    0,1,-1,2,-2,\cdots
    $$
    
    这样的形式来构造这个序列，不难发现它完美地满足所有限制条件．
    
    对于 task2：
    
    当 $n$ 为除 $4$ 以外的合数时，无法构造出合法解
    
    当 $n$ 为质数或 $4$ 时，可以构造一个形如 $1,\dfrac{2}{1},\dfrac{3}{2},\cdots,\dfrac{n-1}{n-2},n$ 这样的数列
    
    先考虑什么时候有解：
    
    显然，当 $n$ 为合数时无解．因为对于一个合数来说，存在两个比它小的数 $p,q$ 使得 $p\times q \equiv 0 \pmod n$，如 $(3\times6)\%9=0$．那么，当 $p,q$ 均出现过后，数列的前缀积将一直为 $0$，故合数时无解．特殊地，我们可以发现 $4=2\times 2$，无满足条件的 $p,q$，因此存在合法解．
    
    我们考虑如何构造这个数列：
    
    和 task1 同样的思路，我们发现 $1$ 必定出现在数列的第一位，否则 $1$ 出现前后的两个前缀积必然相等；而 $n$ 必定出现在数列的最后一位，因为 $n$ 出现位置后的所有前缀积在模意义下都为 $0$．分析题目给出的几组样例以后发现，所有样例中均有一组合法解满足前缀积在模意义下为 $1,2,3,\cdots,n$，因此我们可以构造出上文所述的数列来满足这个条件．那么我们只需证明这 $n$ 个数互不相同即可．
    
    我们发现这些数均为 $1 \cdots n-2$ 的逆元 $+1$，因此各不相同，此题得解．

### 例题 3

???+ note "[AtCoder Grand Contest 032 B](https://atcoder.jp/contests/agc032/tasks/agc032_b)"
    给定一个整数 $N$，试构造一个节点数为 $N$ 无向图．令节点编号为 $1\ldots N$，要求其满足以下条件：
    
    -   这是一个简单连通图．
    -   存在一个整数 $S$ 使得对于任意节点，与其相邻节点的下标和为 $S$．
    
    保证输入数据有解．

??? note "解题思路"
    通过分析 $n=3,4,5$ 的情况，我们可以找到一个构造思路．
    
    构造一个完全 $k$ 分图，保证这 $k$ 部分和相等．则每个点的 $S$ 均相等，为 $\dfrac{(k-1)\sum_{i=1}^{n}i}{k}$．
    
    如果 $n$ 为偶数，那么我们可以前后两两配对，即 $\{1,n\},\{2,n-1\}\cdots$
    
    如果 $n$ 为奇数，那么我们可以把 $n$ 单拿出来作为一组，剩余的 $n-1$ 个两两配对，即 $\{n\},\{1,n-1\},\{2,n-2\}\cdots$
    
    这样构造出的图在 $n\ge 3$ 时连通性易证，在此不加赘述．
    
    此题得解．

### 例题 4

???+ note "[BZOJ 4971「Lydsy1708 月赛」记忆中的背包](https://vjudge.net/problem/BZOJ-4971)"
    经过一天辛苦的工作，小 Q 进入了梦乡．他脑海中浮现出了刚进大学时学 01 背包的情景，那时还是大一萌新的小 Q 解决了一道简单的 01 背包问题．这个问题是这样的：
    
    给定 $n$ 个物品，每个物品的体积分别为 $v_1,v_2,…,v_n$，请计算从中选择一些物品（也可以不选），使得总体积恰好为 $w$ 的方案数．因为答案可能非常大，你只需要输出答案对 $P$ 取模的结果．
    
    因为长期熬夜刷题，他只看到样例输入中的 $w$ 和 $P$，以及样例输出是 $k$，看不清到底有几个物品，也看不清每个物品的体积是多少．直到梦醒，小 Q 也没有看清 $n$ 和 $v$，请写一个程序，帮助小 Q 一起回忆曾经的样例输入．

??? note "解题思路"
    这道题是自由度最高的构造题之一了．这就导致了没有头绪，难以入手的情况．
    
    首先，不难发现模数是假的．由于我们自由构造数据，我们一定可以让方案数不超过模数．
    
    通过奇怪的方式，我们想到可以通过构造 $n$ 个 代价为 $1$ 的小物品和几个代价大于 $\dfrac{w}{2}$ 的大物品．
    
    由于大物品只能取一件，所以每个代价为 $x$ 的大物品对方案数的贡献为 $\dbinom{n}{w-x}$．
    
    令 $f_{i,j}$ 表示有 $i$ 个 $1$，方案数为 $j$ 的最小大物品数．
    
    用 dp 预处理出 $f$，通过计算可知只需预处理 $i\le 20$ 的所有值即可．
    
    此题得解．
