## 相关概念

### 随机变量

给定概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，定义在样本空间 $\Omega$ 上的函数 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 若满足：对任意 $t \in \mathbb{R}$ 都有

$$
\{ \omega \in \Omega : X(\omega) \le t \} \in \mathcal{F}
$$

则称 $X$ 为 **随机变量**．

### 示性函数

对于样本空间 $\Omega$ 上的事件 $A$，定义随机变量

$$
I_A(\omega) = \begin{cases}
    1, & \omega \in A \\
    0, & \omega \notin A
\end{cases}
$$

称 $I_A$ 是事件 $A$ 的 **示性函数**．

### 分布函数

对于随机变量 $X$，称函数

$$
F(x) = P( X \leq x )
$$

为随机变量 $X$ 的 **分布函数**．记作 $X \sim F(x)$．

分布函数具有以下性质：

-   **右连续性**：$F(x) = F(x + 0)$
-   **单调性**：在 $\mathbb{R}$ 上单调递增（非严格）
-   $F(-\infty) = 0$,$F(+\infty) = 1$

同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数．因此，分布函数与随机变量之间一一对应．

## 随机变量的分类

随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 **离散型** 和 **连续型** 两种．

### 离散型随机变量

设 $X$ 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 $x_1, x_2, \cdots$，则我们可以用一系列形如 $P\{ X = x_i \} = p_i$ 的等式来描述 $X$．这就是我们在高中课本中学过的 **分布列**．

### 连续型随机变量

设 $X$ 为连续型随机变量，考察 $P\{ X = x \}$ 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 $0$）．

??? note "为什么说概率「很可能」是 $0$"
    考虑这样的随机变量 $X$：它以 $\frac{1}{2}$ 的概率取 $0$，以 $\frac{1}{2}$ 的概率服从开区间 $(0, 1)$ 上的均匀分布．显然 $X$ 满足连续型随机变量的定义．
    
    对任何实数 $r \in (0, 1)$，不难得到 $P\{ X = r \} = 0$，但同时有 $P\{ X = 0 \} = \frac{1}{2}$．

另一方面，设 $X \sim F(x)$，则

$$
P( l < x \leq l + \Delta x ) = F(l + \Delta x) - F(l)
$$

一个自然的想法是用极限 $\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(l + \Delta x) - F(l)}{\Delta x}$ 来描述 $X$ 取值为 $l$ 的可能性．

这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 $f(x)$ 使得

$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(x) \text{d} x
$$

若这样的 $f(x)$ 存在，则称之为 $X$ 的 **密度函数**．

## 随机变量的独立性

前面讨论了随机事件的独立性．由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义．

### 定义

若随机变量 $X, Y$ 满足对任意的 $x, y \in \mathbb{R}$ 都有

$$
P( X \leq x, Y \leq y ) = P( X \leq x ) P( Y \leq y )
$$

则称随机变量 $X, Y$  **独立**．

??? note "Note"
    有些同学也许会注意到，中学课本中对随机变量独立性的定义是用形如 $P(X = \alpha)$ 的概率定义的，但由于连续性随机变量取特定值的概率通常是 $0$，故在更一般的情形下借助分布函数定义才是更加明智的选择．

### 性质

若随机变量 $X$,$Y$ 相互独立，则对于任意函数 $f, g$，随机变量 $f(X)$ 与 $g(Y)$ 相互独立．

??? warning "注意"
    有时候我们会研究相互独立的随机变量 $X$,$Y$ 的某一函数 $f(X, Y)$（如 $XY^2$）的分布．
    
    尽管 $X$ 与 $Y$ 是独立的，但不能想当然地认为对 $Y$ 的某一取值 $y$，$f(X, y)$ 与 $f(X, Y)$ 服从同样的分布．
