author: ChungZH, Yukimaikoriya, tigerruanyifan, isdanni, Saisyc, 383494, Tiphereth-A, XuYueming520

## 简介

**数论变换**（number-theoretic transform, NTT）是离散傅里叶变换（DFT）在数论基础上的实现；**快速数论变换**（fast number-theoretic transform, FNTT）是 [快速傅里叶变换](./fft.md)（FFT）在数论基础上的实现．

**数论变换** 是一种计算卷积（convolution）的快速算法．最常用算法就包括了前文提到的快速傅里叶变换．然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，举例来说，资料向量必须乘上复数系数的矩阵加以处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大．

NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大．目前最常见的模数是 998244353．

## 前置知识

学习数论变换需要前置知识：离散傅里叶变换、生成子群、[原根](../number-theory/primitive-root.md)、离散对数．相关知识可以在对应页面中学习，此处不再赘述．

## 定义

### 数论变换

在数学中，NTT 是关于任意 [环](../algebra/basic.md#环) 上的离散傅立叶变换（DFT）．在有限域的情况下，通常称为数论变换（NTT）．

**数论变换**（NTT）是通过将离散傅立叶变换化为 $F={\mathbb {Z}/p}$，整数模质数 $p$．这是一个 **有限域**，只要 $n$ 可除 $p-1$，就存在本原 $n$ 次方根，所以我们有 $p=\xi n+1$ 对于 正整数 $ξ$．具体来说，对于质数 $p=qn+1, (n=2^m)$，原根 $g$ 满足 $g^{qn} \equiv 1 \pmod p$, 将 $g_n=g^q\pmod p$ 看做 $\omega_n$ 的等价，则其满足相似的性质，比如 $g_n^n \equiv 1 \pmod p, g_n^{n/2} \equiv -1 \pmod p$．

因为这里涉及到数论变化，所以 $N$（为了区分 FFT 中的 $n$，我们把这里的 $n$ 称为 $N$）可以比 FFT 中的 $n$ 大，但是只要把 $\frac{qN}{n}$ 看做这里的 $q$ 就行了，能够避免大小问题．

常见的有：

$$
p = 167772161 = 5 \times 2^{25}+1, g=3
$$

$$
p = 469762049 = 7 \times 2^{26}+1, g=3
$$

$$
p = 754974721 = 3^2 \times 5 \times 2^{24}+1, g=11
$$

$$
p = 998244353 = 7 \times 17 \times 2^{23}+1, g=3
$$

$$
p = 1004535809 = 479 \times 2^{21}+1, g=3
$$

就是 $g^{qn}$ 的等价 $\mathrm{e}^{2\pi \mathrm{i} n}$．

迭代到长度 $l$ 时 $g_l = g^{\frac{p-1}{l}}$，或者 $\omega_n = g_l = g_N^{\frac{N}{l}} = g_N^{\frac{p-1}{l}}$．

## 快速数论变换

**快速数论变换**（FNTT）是数论变换（NTT）增加分治操作之后的快速算法．

快速数论变换使用的分治办法，与快速傅里叶变换使用的分治办法完全一致．这意味着，只需在快速傅里叶变换的代码基础上进行简单修改，即可得到快速数论变换的代码．

在算法竞赛中常提到的 NTT 一词，往往实际指的是快速数论变换，一般默认「数论变换」是指「快速数论变换」．

这样简写的逻辑与快速傅里叶变换相似．事实上，「快速傅里叶变换」（FFT）一词指的是「快速离散傅里叶变换」（FDFT），但由于「快速」只能作用于离散，甚至是本原单位根阶数为 $2$ 的幂的特殊情形，不能作用于连续，因此「离散」一词被省略掉，FDFT 变为 FFT，即 FFT 永远指的是特殊的离散情形．

数论变换或快速数论变换是在取模意义下进行的操作，不存在连续的情形，永远是离散的，自然也无需提到离散一词．

在算法领域，不进行提速的操作是无意义的．在快速傅里叶变换中介绍 DFT 一词，是因为 DFT 在信号处理、图像处理领域也有其他的具体应用，同时 DFT 也是 FFT 的原理或前置知识．

在不引起混淆的情形下，常用 NTT 来代指 FNTT．为了不引起下文进一步介绍的混淆，下文的 NTT 与 FNTT 两个词进行了分离．

DFT、FFT、NTT、FNTT 的具体关系是：

-   在 DFT 与 NTT 的基础上，增加分治操作，得到 FFT 与 FNTT．分治操作的办法与原理，可以参见快速傅里叶变换一文．

-   在 DFT 与 FFT 的基础上，将复数加法与复数乘法替换为模 $p$ 意义下的加法和乘法，一般大小限制在 $0$ 到 $p-1$ 之间；将本原单位根改为模 $p$ 意义下的相同阶数的本原单位根，阶数为 $2$ 的幂，即可得到 NTT 与 FNTT．

由于替换的运算只涉及加法和乘法，因此 DFT、FFT、NTT、FNTT 拥有相同的原理，均在满足加法与乘法的环上进行，无需域上满足除法运算的更加严格的条件．

事实上，只要拥有原根，即群论中的生成元，该模数下的 NTT 或 FNTT 即可进行．考虑到模数为 $1$、$2$ 和 $4$ 的情形太小，不具有实际意义，对于奇素数 $p$ 和正整数 $\alpha$，只要给出模数为 $p^\alpha$ 和 $2p^\alpha$ 的原根 $g$，采用同样的办法，则 NTT 或 FNTT 仍然可以进行．

## 模板

下面是一个大数相乘的模板，[参考来源](https://blog.csdn.net/blackjack_/article/details/79346433)．

??? note "参考代码"
    ```cpp
    #include <algorithm>
    #include <bitset>
    #include <cmath>
    #include <cstdio>
    #include <cstdlib>
    #include <cstring>
    #include <ctime>
    #include <iomanip>
    #include <iostream>
    #include <map>
    #include <queue>
    #include <set>
    #include <string>
    #include <vector>
    using namespace std;
    
    int read() {
      int x = 0, f = 1;
      char ch = getchar();
      while (ch < '0' || ch > '9') {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
      }
      while (ch <= '9' && ch >= '0') {
        x = 10 * x + ch - '0';
        ch = getchar();
      }
      return x * f;
    }
    
    void print(int x) {
      if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
      if (x >= 10) print(x / 10);
      putchar(x % 10 + '0');
    }
    
    constexpr int N = 300100, P = 998244353;
    
    int qpow(int x, int y) {
      int res(1);
      while (y) {
        if (y & 1) res = 1ll * res * x % P;
        x = 1ll * x * x % P;
        y >>= 1;
      }
      return res;
    }
    
    int r[N];
    
    void ntt(int *x, int lim, int opt) {
      int i, j, k, m, gn, g, tmp;
      for (i = 0; i < lim; ++i)
        if (r[i] < i) swap(x[i], x[r[i]]);
      for (m = 2; m <= lim; m <<= 1) {
        k = m >> 1;
        gn = qpow(3, (P - 1) / m);
        for (i = 0; i < lim; i += m) {
          g = 1;
          for (j = 0; j < k; ++j, g = 1ll * g * gn % P) {
            tmp = 1ll * x[i + j + k] * g % P;
            x[i + j + k] = (x[i + j] - tmp + P) % P;
            x[i + j] = (x[i + j] + tmp) % P;
          }
        }
      }
      if (opt == -1) {
        reverse(x + 1, x + lim);
        int inv = qpow(lim, P - 2);
        for (i = 0; i < lim; ++i) x[i] = 1ll * x[i] * inv % P;
      }
    }
    
    int A[N], B[N], C[N];
    
    char a[N], b[N];
    
    int main() {
      int i, lim(1), n;
      scanf("%s", a);
      n = strlen(a);
      for (i = 0; i < n; ++i) A[i] = a[n - i - 1] - '0';
      while (lim < (n << 1)) lim <<= 1;
      scanf("%s", b);
      n = strlen(b);
      for (i = 0; i < n; ++i) B[i] = b[n - i - 1] - '0';
      while (lim < (n << 1)) lim <<= 1;
      for (i = 0; i < lim; ++i) r[i] = (i & 1) * (lim >> 1) + (r[i >> 1] >> 1);
      ntt(A, lim, 1);
      ntt(B, lim, 1);
      for (i = 0; i < lim; ++i) C[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P;
      ntt(C, lim, -1);
      int len(0);
      for (i = 0; i < lim; ++i) {
        if (C[i] >= 10) len = i + 1, C[i + 1] += C[i] / 10, C[i] %= 10;
        if (C[i]) len = max(len, i);
      }
      while (C[len] >= 10) C[len + 1] += C[len] / 10, C[len] %= 10, len++;
      for (i = len; ~i; --i) putchar(C[i] + '0');
      puts("");
      return 0;
    }
    ```

## 参考资料与拓展阅读

1.  [FWT（快速沃尔什变换）零基础详解 qaq（ACM/OI）](https://zhuanlan.zhihu.com/p/41867199)
2.  [FFT（快速傅里叶变换）0 基础详解！附 NTT（ACM/OI）](https://zhuanlan.zhihu.com/p/40505277)
3.  [Number-theoretic transform(NTT) - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform_%28general%29#Number-theoretic_transform)
4.  [Tutorial on FFT/NTT—The tough made simple. (Part 1)](https://codeforces.com/blog/entry/43499)
