author: sshwy, StudyingFather, orzAtalod

## 定义

首先我们介绍 Lyndon 分解的概念．

Lyndon 串：对于字符串 $s$，如果 $s$ 的字典序严格小于 $s$ 的所有后缀的字典序，我们称 $s$ 是简单串，或者 **Lyndon 串**．举一些例子，`a`,`b`,`ab`,`aab`,`abb`,`ababb`,`abcd` 都是 Lyndon 串．当且仅当 $s$ 的字典序严格小于它的所有非平凡的（非平凡：非空且不同于自身）循环同构串时，$s$ 才是 Lyndon 串．

Lyndon 分解：串 $s$ 的 Lyndon 分解记为 $s=w_1w_2\cdots w_k$，其中所有 $w_i$ 为简单串，并且他们的字典序按照非严格单减排序，即 $w_1\ge w_2\ge\cdots\ge w_k$．可以发现，这样的分解存在且唯一．

## Duval 算法

### 解释

Duval 可以在 $O(n)$ 的时间内求出一个串的 Lyndon 分解．

首先我们介绍另外一个概念：如果一个字符串 $t$ 能够分解为 $t=ww\cdots\overline{w}$ 的形式，其中 $w$ 是一个 Lyndon 串，而 $\overline{w}$ 是 $w$ 的前缀（$\overline{w}$ 可能是空串），那么称 $t$ 是近似简单串（pre-simple），或者近似 Lyndon 串．一个 Lyndon 串也是近似 Lyndon 串．

Duval 算法运用了贪心的思想．算法过程中我们把串 $s$ 分成三个部分 $s=s_1s_2s_3$，其中 $s_1$ 是一个 Lyndon 串，它的 Lyndon 分解已经记录；$s_2$ 是一个近似 Lyndon 串；$s_3$ 是未处理的部分．

### 过程

整体描述一下，该算法每一次尝试将 $s_3$ 的首字符添加到 $s_2$ 的末尾．如果 $s_2$ 不再是近似 Lyndon 串，那么我们就可以将 $s_2$ 截出一部分前缀（即 Lyndon 分解）接在 $s_1$ 末尾．

我们来更详细地解释一下算法的过程．定义一个指针 $i$ 指向 $s_2$ 的首字符，则 $i$ 从 $1$ 遍历到 $n$（字符串长度）．在循环的过程中我们定义另一个指针 $j$ 指向 $s_3$ 的首字符，指针 $k$ 指向 $s_2$ 中我们当前考虑的字符（意义是 $j$ 在 $s_2$ 的上一个循环节中对应的字符）．我们的目标是将 $s[j]$ 添加到 $s_2$ 的末尾，这就需要将 $s[j]$ 与 $s[k]$ 做比较：

1.  如果 $s[j]=s[k]$，则将 $s[j]$ 添加到 $s_2$ 末尾不会影响它的近似简单性．于是我们只需要让指针 $j,k$ 自增（移向下一位）即可．
2.  如果 $s[j]>s[k]$，那么 $s_2s[j]$ 就变成了一个 Lyndon 串，于是我们将指针 $j$ 自增，而让 $k$ 指向 $s_2$ 的首字符，这样 $s_2$ 就变成了一个循环次数为 1 的新 Lyndon 串了．
3.  如果 $s[j]<s[k]$，则 $s_2s[j]$ 就不是一个近似简单串了，那么我们就要把 $s_2$ 分解出它的一个 Lyndon 子串，这个 Lyndon 子串的长度将是 $j-k$，即它的一个循环节．然后把 $s_2$ 变成分解完以后剩下的部分，继续循环下去（注意，这个情况下我们没有改变指针 $j,k$），直到循环节被截完．对于剩余部分，我们只需要将进度「回退」到剩余部分的开头即可．

### 实现

下面的代码返回串 $s$ 的 Lyndon 分解方案．

=== "C++"
    ```cpp
    // duval_algorithm
    vector<string> duval(string const& s) {
      int n = s.size(), i = 0;
      vector<string> factorization;
      while (i < n) {
        int j = i + 1, k = i;
        while (j < n && s[k] <= s[j]) {
          if (s[k] < s[j])
            k = i;
          else
            k++;
          j++;
        }
        while (i <= k) {
          factorization.push_back(s.substr(i, j - k));
          i += j - k;
        }
      }
      return factorization;
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    # duval_algorithm
    def duval(s):
        n, i = len(s), 0
        factorization = []
        while i < n:
            j, k = i + 1, i
            while j < n and s[k] <= s[j]:
                if s[k] < s[j]:
                    k = i
                else:
                    k += 1
                j += 1
            while i <= k:
                factorization.append(s[i : i + j - k])
                i += j - k
        return factorization
    ```

### 复杂度分析

接下来我们证明一下这个算法的复杂度．

外层的循环次数不超过 $n$，因为每一次 $i$ 都会增加．第二个内层循环也是 $O(n)$ 的，因为它只记录 Lyndon 分解的方案．接下来我们分析一下内层循环．很容易发现，每一次在外层循环中找到的 Lyndon 串是比我们所比较过的剩余的串要长的，因此剩余的串的长度和要小于 $n$，于是我们最多在内层循环 $O(n)$ 次．事实上循环的总次数不超过 $4n-3$，时间复杂度为 $O(n)$．

## 最小表示法（Finding the smallest cyclic shift）

对于长度为 $n$ 的串 $s$，我们可以通过上述算法寻找该串的最小表示法．

我们构建串 $ss$ 的 Lyndon 分解，然后寻找这个分解中的一个 Lyndon 串 $t$，使得它的起点小于 $n$ 且终点大于等于 $n$．可以很容易地使用 Lyndon 分解的性质证明，子串 $t$ 的首字符就是 $s$ 的最小表示法的首字符，即我们沿着 $t$ 的开头往后 $n$ 个字符组成的串就是 $s$ 的最小表示法．

于是我们在分解的过程中记录每一次的近似 Lyndon 串的开头即可．

=== "C++"
    ```cpp
    // smallest_cyclic_string
    string min_cyclic_string(string s) {
      s += s;
      int n = s.size();
      int i = 0, ans = 0;
      while (i < n / 2) {
        ans = i;
        int j = i + 1, k = i;
        while (j < n && s[k] <= s[j]) {
          if (s[k] < s[j])
            k = i;
          else
            k++;
          j++;
        }
        while (i <= k) i += j - k;
      }
      return s.substr(ans, n / 2);
    }
    ```

=== "Python"
    ```python
    # smallest_cyclic_string
    def min_cyclic_string(s):
        s += s
        n = len(s)
        i, ans = 0, 0
        while i < n / 2:
            ans = i
            j, k = i + 1, i
            while j < n and s[k] <= s[j]:
                if s[k] < s[j]:
                    k = i
                else:
                    k += 1
                j += 1
            while i <= k:
                i += j - k
        return s[ans : ans + n / 2]
    ```

## 习题

-   [UVa #719 - Glass Beads](https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=onlinejudge&page=show_problem&problem=660)

    **本页面主要译自博文 [Декомпозиция Линдона. Алгоритм Дюваля. Нахождение наименьшего циклического сдвига](http://e-maxx.ru/algo/duval_algorithm) 与其英文翻译版 [Lyndon factorization](https://cp-algorithms.com/string/lyndon_factorization.html)．其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0．**
