author: Anguei, sshwy, Xeonacid, Ir1d, MonkeyOliver, hsfzLZH1

拆点是一种图论建模思想，常用于 [网络流](./flow.md)，用来处理 **点权或者点的流量限制** 的问题，也常用于 **分层图**．

## 结点有流量限制的最大流

如果把结点转化成边，那么这个问题就可以套板子解决了．

我们考虑把有流量限制的结点转化成这样一种形式：由两个结点 $u,v$ 和一条边 $\left\langle u,v \right\rangle$ 组成的部分．其中，结点 $u$ 承接所有从原图上其他点的出发到原图上该点的边，结点 $v$ 引出所有从原图上该点出发到达原图上其他点的边．边 $\left\langle u,v \right\rangle$ 的流量限制为原图该点的流量限制，再套板子就可以解决本题．这就是拆点的基本思想．

如果原图是这样：

![](./images/node.svg)

拆点之后的图是这个样子：

![](./images/node-split.svg)

## 分层图最短路

分层图最短路，如：有 $k$ 次零代价通过一条路径，求总的最小花费．对于这种题目，我们可以采用 DP 相关的思想，设 $\text{dis}_{i, j}$ 表示当前从起点 $i$ 号结点，使用了 $j$ 次免费通行权限后的最短路径．显然，$\text{dis}$ 数组可以这么转移：

$\text{dis}_{i, j} = \min\{\min\{\text{dis}_{from, j - 1}\}, \min\{\text{dis}_{from,j} + w\}\}$

其中，$from$ 表示 $i$ 的父亲节点，$w$ 表示当前所走的边的边权．当 $j - 1 \geq k$ 时，$\text{dis}_{from, j}$=$\infty$．

事实上，这个 DP 就相当于把每个结点拆分成了 $k+1$ 个结点，每个新结点代表使用不同多次免费通行后到达的原图结点．换句话说，就是每个结点 $u_i$ 表示使用 $i$ 次免费通行权限后到达 $u$ 结点．

??? note "[「JLOI2011」飞行路线](https://www.luogu.com.cn/problem/P4568)"
    题意：有一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，你可以选择 $k$ 条道路以零代价通行，求 $s$ 到 $t$ 的最小花费．
    
    参考核心代码：
    
    ```cpp
    struct State {    // 优先队列的结点结构体
      int v, w, cnt;  // cnt 表示已经使用多少次免费通行权限
    
      State() {}
    
      State(int v, int w, int cnt) : v(v), w(w), cnt(cnt) {}
    
      bool operator<(const State &rhs) const { return w > rhs.w; }
    };
    
    void dijkstra() {
      memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
      dis[s][0] = 0;
      pq.push(State(s, 0, 0));  // 到起点不需要使用免费通行权，距离为零
      while (!pq.empty()) {
        const State top = pq.top();
        pq.pop();
        int u = top.v, nowCnt = top.cnt;
        if (done[u][nowCnt]) continue;
        done[u][nowCnt] = true;
        for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) {
          int v = edge[i].v, w = edge[i].w;
          if (nowCnt < k && dis[v][nowCnt + 1] > dis[u][nowCnt]) {  // 可以免费通行
            dis[v][nowCnt + 1] = dis[u][nowCnt];
            pq.push(State(v, dis[v][nowCnt + 1], nowCnt + 1));
          }
          if (dis[v][nowCnt] > dis[u][nowCnt] + w) {  // 不可以免费通行
            dis[v][nowCnt] = dis[u][nowCnt] + w;
            pq.push(State(v, dis[v][nowCnt], nowCnt));
          }
        }
      }
    }
    
    int main() {
      n = read(), m = read(), k = read();
      // 笔者习惯从 1 到 n 编号，而这道题是从 0 到 n - 1，所以要处理一下
      s = read() + 1, t = read() + 1;
      while (m--) {
        int u = read() + 1, v = read() + 1, w = read();
        add(u, v, w), add(v, u, w);  // 这道题是双向边
      }
      dijkstra();
      int ans = std::numeric_limits<int>::max();  // ans 取 int 最大值为初值
      for (int i = 0; i <= k; ++i)
        ans = std::min(ans, dis[t][i]);  // 对到达终点的所有情况取最优值
      println(ans);
    }
    ```
